задачи к экзамену по геометрии. 9 класс.

1. Задача: Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.
2. Задача: В треугольник АВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник DEF так, что его гипотенуза DF параллельна стороне АС, а вершина Е лежит на стороне АС. Найдите высоту треугольника АВС, если АС = 16см, DF = 8см.
3. Задача: Стороны треугольника равны 2см, 3см, и 3 см. Определите вид этого треугольника.
4. Задача: На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны АD. Найдите углы параллелограмма.
5. Задача: Угол между высотами ВК и ВL параллелограмма АВСD, проведёнными из вершины его острого угла В, в четыре раза больше самого угла АВС. Найдите углы параллелограмма.
6. Задача: Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая SD. Через точку К - середину высоты ВН проведён луч АК, пересекающий прямую ВD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.
7. Задача: Сторона ромба равна 10см, а один из его углов равен 30 . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
8. Задача: Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит эту трапецию на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Какова площадь этой трапеции, если её меньшая боковая сторона равна 4см?
9. Задача: Найдите больший угол треугольника, если две его стороны видны из центра описанной окружности под углами 100 и 120 .
10. Задача: Известно, что в равнобокую трапецию с боковой стороной, равной 5см, можно вписать окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
11. Задача: Определите вид четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон произвольного выпуклого четырёхугольника.
12. Задача: В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ и ВС в точках E и F соответственно. Касательная МК к этой окружности пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и К. Найдите периметр треугольника ВМК, если ВЕ = 6см.
13. Задача:
В трапеции АВСD диагональ ВD является биссектрисой прямого угла АDС. Найдите отношение диагонали ВD к стороне АВ трапеции, если ВАD = 30 .
14. Задача: Треугольник АВС, стороны которого 13см, 14см и 15см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М с вершинами треугольника. Найдите площадь ?ВМС.
15. Задача: Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 84см2. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 7см.
16. Задача: В равнобокой трапеции одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите меньшее основание трапеции, если её площадь равна 27 3 см2.
17. Задача: Из вершины В в треугольнике АВС проведены высота ВН и биссектриса ВD. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой ВD, если углы ВАС и ВСА равны 20 и 60 соответственно.
18. Задача: Две окружности, радиусы которых равны 9см и 3см, касаются внешним образом в точке А. Через точку А проходит их общая секущая ВС, причём точка В принадлежит большей окружности. Найдите длину отрезка АВ, если отрезок АС = 5см.
19. Задача: Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка D, такая, что ВАD = ВСD = 15 . Найти угол АDС.
20. Задача: Окружность радиуса R касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла. Найдите длину дуги, заключённой внутри треугольника, если R = 8/ .
21. Задача: Через вершины А, В и С ромба АВСО проведена окружность, центром которой является вершина О. Найдите длину дуги АС, содержащей вершину В, если длина всей окружности равна 30см.
22. Задача: При пересечении двух прямых n и m секущей k образовалось восемь углов. Четыре из них равны 60 , а четыре другие - 120 . Определите взаимное расположение прямых n и m.
23. Задача: Точки А, В и С делят окружность на три части так, что АВ : ВС : АС = 4 : 7 : 9. Определите наибольший угол треугольника АВС.
24. Задача: Углы при основании АD трапеции АВСD равны 60 и 30 , АD = 17см, ВС = 7см. Найдите боковые стороны.
25. Задача: Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны 6см и 2см. Определите длину третьей стороны этого треугольника.
26. Задача: Два круга, радиусы которых равны 5см. имеют общую хорду длины 5 2см. Найдите площадь общей части этих кругов.

27. Задача: Стороны треугольника равны 4см, 5см и 8см. Найдите длину медианы, проведённой из вершины большего угла.
28. Задача: В параллелограмме АВСD диагональ ВD перпендикулярна стороне АD. Найдите АС, если АD = 6см, ВD = 5см.
29. Задача: Большая диагональ ромба равна 12см, а один из его углов равен 60 . Найдите длину вписанной в него окружности.
30. Задача: В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34см. Найдите основание треугольника.
31. Задача: Найдите наименьший угол параллелограмма, если его стороны равны 1см и 3см, а одна из диагоналей равна 7см.
32. Задача: В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне АВ и по одной вершине - на сторонах АС и ВС. Найдите площадь квадрата, если АВ = 40см, а высота, проведённая из вершины С, имеет длину 24см.
33. Задача: Вписанный угол, образованный хордой и диаметром окружности, равен 72 . Определите, что больше: хорда или радиус окружности.
34. Задача: В трапеции АВСD стороны АВ и СD равны, биссектриса тупого угла В перпендикулярна диагонали АС и отсекает от данной трапеции параллелограмм. Найдите величину угла ВСD.
35. Задача: Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе АD. Найдите АВ, если АС = 12см.
36. Задача: В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями 17см и 25см диагональ АС является биссектрисой острого угла А. Найдите меньшую боковую сторону трапеции
с d
37. Задача: 2
На рисунке 1 = 55 , 2 = 125 , 3 = 123 . 3 a
Найдите 4. 1
4 b
38. Задача: Треугольник АВС - равносторонний со стороной а. На расстоянии а от вершины А взята точка D, отличная от точек В и С. Найдите угол ВDС.
39. Задача: Из точки, лежащей на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, на катеты опущены перпендикуляры. Найти катет треугольника, если периметр полученного четырёхугольника равен 12см.
40. Задача: Около правильного шестиугольника со стороной 8,5см описана окружность. Около этой окружности описан правильный четырёхугольник. Найдите сторону четырёхугольника.
41. Задача:
Площадь ромба АВСD равна 242 2. Вычислите сторону ромба, если один из его углов равен 135 .
42. Задача:
К окружности, радиус которой равен 3см, из точки, удалённой от центра окружности на расстояние 5см, проведены две касательные. Вычислите расстояние между точками касания.